庞加莱猜想,拓扑学上的一颗明珠,揭开宇宙形状之谜

中新看点 2021-02-23 23:52:04

庞加莱猜想,拓扑学上的一颗明珠,揭开宇宙形状之谜

让我们从简单的开始。我们知道地球的形状,它近似一个球形;银河系是棒螺旋形的,也就是带旋臂的圆盘形状;那可观测宇宙呢?是球形吗?看起来确实如此,因为它正在向外扩张。那么在我们可以观测到的范围之外的整个宇宙呢?

答案是,我们不知道,但我们可以猜想。它可能是有限的或无限的,有边界或没有边界,有曲率或没有曲率。我们所知道的是,它似乎在扩张。但扩张到哪里?我们不知道。但是我们可以推测一下。

介绍

宇宙过去的形状,现在的形状,以及将来可能的形状,我们很难凭经验来辨别。爱因斯坦在某种程度上帮助了我们,他向我们展示了物质和能量实际上可能与四维——时间——相互作用。在这种相互作用中,时空可能因质量(能量)的存在而发生扭曲。就我们所知,我们生活在一个四维宇宙中,这个宇宙易受变形的影响,比如拉伸、扭曲和弯曲。这就是拓扑学发明的由来。

让我们来看看最基本的。我们都知道,平面上的圆是二维圆盘的一维周长(嵌在二维空间中的一维等价物是一条直线)。增加一个维度,我们也能直观地知道,一个三维球的二维表面叫做球面(嵌在三维空间中的二维等价物是一个面)。然而,再增加一个维度,我们的直觉已经完全失效了。嵌在四维空间中的物体的三维等价物是什么?在四维欧几里得空间中,四维球的三维边界在数学上被称为三维球面( glome)。我们无法在大脑中形成三维球面的直观印象。

在数学中,这三个物体(圆、球、三维球面)是密切相关的,被称为一维球、二维球和三维球。n维球是一维球在任意维空间中的推广。在拓扑学中,n维球被视为n维流形,这些流形是在每个点附近局部类似欧几里德(平坦)空间的拓扑空间。更准确地说应该是:

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